Mengupas Tuntas Teorema Pythagoras: Contoh Soal Dan Pembahasannya

Teorema Pythagoras, sebuah konsep fundamental dalam geometri, telah menjadi landasan penting dalam pemahaman kita tentang hubungan antara sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Teorema ini, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya (alas dan tinggi), tidak hanya relevan dalam matematika tetapi juga dalam berbagai bidang ilmu lainnya, seperti fisika, teknik, dan bahkan navigasi.

Artikel ini akan mengupas tuntas teorema Pythagoras melalui serangkaian contoh soal yang beragam, mulai dari yang paling dasar hingga yang lebih kompleks. Tujuan kami adalah untuk memberikan pemahaman yang mendalam tentang bagaimana menerapkan teorema ini dalam berbagai situasi dan bagaimana memecahkan masalah yang melibatkan segitiga siku-siku.

Rumus Dasar Teorema Pythagoras:

Dalam segitiga siku-siku, jika:

• a = panjang alas
• b = panjang tinggi
• c = panjang sisi miring (hipotenusa)

Maka, berlaku rumus:

c² = a² + b²

Dari rumus ini, kita dapat menurunkan rumus untuk mencari panjang sisi lainnya jika diketahui dua sisi:

• a² = c² – b²
• b² = c² – a²

Contoh Soal dan Pembahasan:

1. Soal Dasar:

Sebuah segitiga siku-siku memiliki alas sepanjang 3 cm dan tinggi 4 cm. Hitunglah panjang sisi miring segitiga tersebut.

Pembahasan:

Diketahui:

• a = 3 cm
• b = 4 cm

Ditanya: c = ?

Menggunakan rumus c² = a² + b², kita dapatkan:

c² = 3² + 4²
c² = 9 + 16
c² = 25
c = √25
c = 5 cm

Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 5 cm.

2. Soal Mencari Alas:

Sebuah tangga dengan panjang 5 meter disandarkan pada dinding. Ujung atas tangga menyentuh dinding pada ketinggian 4 meter dari tanah. Hitunglah jarak antara kaki tangga dan dinding.

Pembahasan:

Diketahui:

• c = 5 meter (panjang tangga, sisi miring)
• b = 4 meter (tinggi dinding, tinggi segitiga)

Ditanya: a = ? (jarak kaki tangga ke dinding, alas segitiga)

Menggunakan rumus a² = c² – b², kita dapatkan:

a² = 5² – 4²
a² = 25 – 16
a² = 9
a = √9
a = 3 meter

Jadi, jarak antara kaki tangga dan dinding adalah 3 meter.

3. Soal Mencari Tinggi:

Sebuah layar TV berukuran 40 inci diukur secara diagonal. Jika lebar layar adalah 32 inci, berapakah tinggi layar TV tersebut?

Pembahasan:

Diketahui:

• c = 40 inci (diagonal layar, sisi miring)
• a = 32 inci (lebar layar, alas segitiga)

Ditanya: b = ? (tinggi layar, tinggi segitiga)

Menggunakan rumus b² = c² – a², kita dapatkan:

b² = 40² – 32²
b² = 1600 – 1024
b² = 576
b = √576
b = 24 inci

Jadi, tinggi layar TV tersebut adalah 24 inci.

4. Soal Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari:

Seorang anak berjalan 8 meter ke arah timur, kemudian berbelok ke arah utara dan berjalan sejauh 6 meter. Berapakah jarak terpendek dari titik awal ke titik akhir?

Pembahasan:

Perjalanan anak tersebut membentuk dua sisi segitiga siku-siku.

• a = 8 meter (perjalanan ke timur, alas segitiga)
• b = 6 meter (perjalanan ke utara, tinggi segitiga)

Ditanya: c = ? (jarak terpendek, sisi miring segitiga)

Menggunakan rumus c² = a² + b², kita dapatkan:

c² = 8² + 6²
c² = 64 + 36
c² = 100
c = √100
c = 10 meter

Jadi, jarak terpendek dari titik awal ke titik akhir adalah 10 meter.

5. Soal dengan Bilangan Irasional:

Sebuah segitiga siku-siku sama kaki memiliki panjang kaki 5 cm. Hitunglah panjang sisi miringnya.

Pembahasan:

Diketahui:

• a = 5 cm
• b = 5 cm (segitiga sama kaki)

Ditanya: c = ?

Menggunakan rumus c² = a² + b², kita dapatkan:

c² = 5² + 5²
c² = 25 + 25
c² = 50
c = √50
c = √(25 * 2)
c = 5√2 cm

Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 5√2 cm.

6. Soal dengan Perbandingan Sisi:

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku berbanding 3:4:5. Jika luas segitiga tersebut adalah 24 cm², tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut.

Pembahasan:

Misalkan sisi-sisi segitiga adalah 3x, 4x, dan 5x. Karena 5x adalah sisi terpanjang, maka itu adalah sisi miring. Sisi alas dan tinggi adalah 3x dan 4x.

Luas segitiga = 1/2 alas tinggi
24 = 1/2 3x 4x
24 = 6x²
x² = 4
x = 2

Maka:

• Alas = 3x = 3 * 2 = 6 cm
• Tinggi = 4x = 4 * 2 = 8 cm
• Sisi miring = 5x = 5 * 2 = 10 cm

Jadi, panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah 6 cm, 8 cm, dan 10 cm.

7. Soal dengan Gabungan Konsep:

Sebuah persegi panjang memiliki panjang 12 cm dan lebar 5 cm. Hitunglah panjang diagonal persegi panjang tersebut.

Pembahasan:

Diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku yang identik. Panjang diagonal adalah sisi miring dari segitiga siku-siku tersebut.

• a = 12 cm (panjang persegi panjang, alas segitiga)
• b = 5 cm (lebar persegi panjang, tinggi segitiga)

Ditanya: c = ? (panjang diagonal, sisi miring segitiga)

Menggunakan rumus c² = a² + b², kita dapatkan:

c² = 12² + 5²
c² = 144 + 25
c² = 169
c = √169
c = 13 cm

Jadi, panjang diagonal persegi panjang tersebut adalah 13 cm.

8. Soal Tingkat Lanjut: Aplikasi dalam Geometri Koordinat

Titik A memiliki koordinat (1, 2) dan titik B memiliki koordinat (4, 6). Hitunglah jarak antara titik A dan titik B.

Pembahasan:

Kita dapat membentuk segitiga siku-siku dengan titik A dan B sebagai dua titik sudutnya. Perbedaan koordinat x akan menjadi alas segitiga, dan perbedaan koordinat y akan menjadi tinggi segitiga.

• Δx = 4 – 1 = 3
• Δy = 6 – 2 = 4

Jadi, alas (a) = 3 dan tinggi (b) = 4. Jarak antara A dan B adalah sisi miring (c).

Menggunakan rumus c² = a² + b², kita dapatkan:

c² = 3² + 4²
c² = 9 + 16
c² = 25
c = √25
c = 5

Jadi, jarak antara titik A dan titik B adalah 5 satuan.

9. Soal Aplikasi dalam Bangunan:

Seorang tukang ingin membuat atap rumah dengan kemiringan tertentu. Jika lebar rumah adalah 8 meter dan tinggi atap di tengah adalah 3 meter, berapakah panjang sisi atap (dari tepi ke puncak)?

Pembahasan:

Tinggi atap di tengah membagi lebar rumah menjadi dua bagian yang sama, masing-masing 4 meter. Ini membentuk segitiga siku-siku dengan alas 4 meter dan tinggi 3 meter. Panjang sisi atap adalah sisi miring segitiga tersebut.

• a = 4 meter (setengah lebar rumah, alas segitiga)
• b = 3 meter (tinggi atap, tinggi segitiga)

Ditanya: c = ? (panjang sisi atap, sisi miring segitiga)

Menggunakan rumus c² = a² + b², kita dapatkan:

c² = 4² + 3²
c² = 16 + 9
c² = 25
c = √25
c = 5 meter

Jadi, panjang sisi atap dari tepi ke puncak adalah 5 meter.

10. Soal dengan Variasi: Menentukan Jenis Segitiga

Diberikan tiga sisi segitiga dengan panjang 5 cm, 12 cm, dan 13 cm. Tentukan apakah segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul.

Pembahasan:

Untuk menentukan jenis segitiga, kita perlu memeriksa apakah teorema Pythagoras berlaku. Sisi terpanjang (13 cm) akan menjadi calon sisi miring.

• a = 5 cm
• b = 12 cm
• c = 13 cm

Periksa apakah c² = a² + b²:

13² = 5² + 12²
169 = 25 + 144
169 = 169

Karena persamaan tersebut benar, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Catatan Penting:

• Pastikan Anda mengidentifikasi sisi miring (hipotenusa) dengan benar. Sisi miring selalu merupakan sisi terpanjang dan berada di seberang sudut siku-siku.
• Perhatikan satuan pengukuran. Pastikan semua sisi memiliki satuan yang sama sebelum melakukan perhitungan.
• Dalam soal cerita, gambarlah diagram untuk memvisualisasikan masalah dan membantu Anda mengidentifikasi sisi-sisi segitiga siku-siku.
• Latih berbagai jenis soal untuk meningkatkan pemahaman Anda tentang teorema Pythagoras.

Kesimpulan:

Teorema Pythagoras adalah alat yang sangat berguna untuk memecahkan masalah yang melibatkan segitiga siku-siku. Dengan memahami rumus dasar dan berlatih dengan berbagai contoh soal, Anda dapat menguasai konsep ini dan menerapkannya dalam berbagai situasi. Semoga artikel ini memberikan pemahaman yang lebih baik tentang teorema Pythagoras dan membantu Anda dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengannya. Teruslah berlatih dan eksplorasi lebih lanjut untuk memperdalam pemahaman Anda tentang geometri!