Mengupas Tuntas Sudut Pusat Dan Sudut Keliling: Contoh Soal Dan Pembahasan Lengkap

Dalam geometri lingkaran, sudut pusat dan sudut keliling memegang peranan penting. Keduanya terkait erat dengan busur lingkaran yang sama, namun memiliki karakteristik dan hubungan yang berbeda. Memahami konsep sudut pusat dan sudut keliling, serta bagaimana keduanya berinteraksi, adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai permasalahan geometri lingkaran.

Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai sudut pusat dan sudut keliling, dilengkapi dengan contoh soal yang beragam dan pembahasan yang komprehensif. Dengan memahami contoh-contoh ini, Anda akan mampu mengaplikasikan konsep sudut pusat dan sudut keliling dalam menyelesaikan berbagai soal geometri lingkaran.

Definisi dan Hubungan Dasar

Sebelum membahas contoh soal, mari kita pahami terlebih dahulu definisi dan hubungan dasar antara sudut pusat dan sudut keliling:

• Sudut Pusat: Sudut yang titik sudutnya terletak di pusat lingkaran dan kaki-kaki sudutnya merupakan jari-jari lingkaran. Ukuran sudut pusat sama dengan ukuran busur yang dihadapinya.

• Sudut Keliling: Sudut yang titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran dan kaki-kaki sudutnya merupakan tali busur lingkaran.

  Also Read: Mengupas Tuntas Contoh Soal UTBK Penalaran Umum 2024: Strategi Jitu Meraih Skor Maksimal

Hubungan antara Sudut Pusat dan Sudut Keliling:

• Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama dengan Sudut Pusat: Jika sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama, maka ukuran sudut keliling adalah setengah dari ukuran sudut pusat. Dengan kata lain, sudut pusat dua kali lebih besar dari sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

• Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama: Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki ukuran yang sama.

  Also Read: Memahami Energi Kinetik Dan Potensial: Contoh Soal Dan Pembahasannya Untuk SMP

• Sudut Keliling yang Menghadap Diameter: Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah sudut siku-siku (90 derajat).

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal tentang sudut pusat dan sudut keliling, beserta pembahasannya:

Soal 1:

Sebuah lingkaran memiliki pusat O. Sudut AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur AB. Jika ∠AOB = 80°, tentukan besar ∠ACB, di mana C adalah titik pada keliling lingkaran dan terletak pada busur mayor AB.

Pembahasan:

∠ACB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB. Karena ∠AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur AB, maka:

∠ACB = 1/2 × ∠AOB
∠ACB = 1/2 × 80°
∠ACB = 40°

Jadi, besar ∠ACB adalah 40°.

Soal 2:

Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, terdapat sudut keliling ∠BAC = 35°. Tentukan besar sudut pusat ∠BOC yang menghadap busur yang sama dengan ∠BAC.

Pembahasan:

∠BAC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC. Karena ∠BOC adalah sudut pusat yang menghadap busur BC, maka:

∠BOC = 2 × ∠BAC
∠BOC = 2 × 35°
∠BOC = 70°

Jadi, besar ∠BOC adalah 70°.

Soal 3:

Pada lingkaran dengan pusat O, diketahui ∠AOB = 120°. Titik C terletak pada keliling lingkaran. Tentukan besar ∠ACB jika:

a) C terletak pada busur mayor AB.
b) C terletak pada busur minor AB.

Pembahasan:

a) Jika C terletak pada busur mayor AB, maka ∠ACB adalah sudut keliling yang menghadap busur minor AB.

∠ACB = 1/2 × ∠AOB
∠ACB = 1/2 × 120°
∠ACB = 60°

b) Jika C terletak pada busur minor AB, maka ∠ACB adalah sudut keliling yang menghadap busur mayor AB. Untuk mencari sudut keliling yang menghadap busur mayor AB, kita perlu mencari sudut pusat yang menghadap busur mayor AB. Sudut pusat yang menghadap busur mayor AB adalah 360° – ∠AOB = 360° – 120° = 240°.

∠ACB = 1/2 × 240°
∠ACB = 120°

Jadi, jika C terletak pada busur mayor AB, ∠ACB = 60°, dan jika C terletak pada busur minor AB, ∠ACB = 120°.

Soal 4:

Pada sebuah lingkaran, terdapat tali busur AB yang membentuk sudut keliling ∠ACB = 90°. Buktikan bahwa AB adalah diameter lingkaran.

Pembahasan:

Karena ∠ACB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB dan ∠ACB = 90°, maka sudut pusat yang menghadap busur AB adalah:

∠AOB = 2 × ∠ACB
∠AOB = 2 × 90°
∠AOB = 180°

Karena ∠AOB adalah sudut lurus (180°), maka AB harus melewati pusat lingkaran O. Dengan demikian, AB adalah diameter lingkaran.

Soal 5:

Pada lingkaran dengan pusat O, terdapat titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran. Jika ∠ABC = 70° dan ∠ADC = x, tentukan nilai x.

Pembahasan:

∠ABC dan ∠ADC adalah sudut-sudut keliling yang menghadap busur AC. Karena sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki ukuran yang sama, maka:

∠ADC = ∠ABC
x = 70°

Jadi, nilai x adalah 70°.

Soal 6:

Pada lingkaran dengan pusat O, terdapat titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran. Jika ∠BAD = 40° dan ∠BCD = 110°, tentukan besar ∠ABC dan ∠ADC.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa ABCD adalah segi empat tali busur. Dalam segi empat tali busur, sudut-sudut yang berhadapan berjumlah 180°.

• ∠ABC + ∠ADC = 180°
• ∠BAD + ∠BCD = 180°

Kita sudah tahu ∠BAD = 40° dan ∠BCD = 110°. Sekarang kita bisa mencari ∠ABC dan ∠ADC.

• ∠ABC + ∠ADC = 180°
  ∠ABC = 180° – ∠ADC

Kita belum tahu ∠ADC, jadi kita gunakan informasi ∠BAD dan ∠BCD.

• ∠BAD + ∠BCD = 180°
  40° + 110° = 150° ≠ 180°

Terjadi kesalahan pada soal. Seharusnya ∠BCD = 140° agar memenuhi sifat segi empat tali busur. Jika ∠BCD = 140°, maka:

• ∠BAD + ∠BCD = 180°
  40° + 140° = 180° (Benar)

Sekarang kita bisa mencari ∠ABC dan ∠ADC.

• ∠ABC + ∠ADC = 180°
  ∠ADC = 180° – ∠ABC

Karena ABCD adalah segi empat tali busur, maka sudut yang berhadapan saling berpelurus. Dengan demikian:

• ∠ABC = 180° – ∠ADC
• ∠ADC = 180° – ∠ABC

Karena kita tidak memiliki informasi tambahan, kita tidak bisa menentukan nilai pasti ∠ABC dan ∠ADC secara individual. Namun, kita tahu bahwa jumlahnya adalah 180°. Jika soal memberikan informasi tambahan (misalnya, salah satu sudut lain diketahui), maka kita bisa menyelesaikannya.

Soal 7:

Sebuah lingkaran memiliki diameter AB. Titik C terletak pada keliling lingkaran. Jika ∠CAB = 30°, tentukan besar ∠ABC.

Pembahasan:

Karena AB adalah diameter lingkaran, maka ∠ACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter, sehingga ∠ACB = 90°.

Dalam segitiga ABC, jumlah sudut-sudutnya adalah 180°. Jadi:

∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°
30° + ∠ABC + 90° = 180°
∠ABC = 180° – 30° – 90°
∠ABC = 60°

Jadi, besar ∠ABC adalah 60°.

Soal 8:

Diberikan lingkaran dengan pusat O. Titik A, B, dan C terletak pada keliling lingkaran. Jika ∠AOB = 2x dan ∠ACB = x + 15°, tentukan nilai x.

Pembahasan:

∠AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur AB, dan ∠ACB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB. Karena keduanya menghadap busur yang sama, maka:

∠AOB = 2 × ∠ACB
2x = 2 × (x + 15°)
2x = 2x + 30°
0 = 30°

Persamaan ini tidak memiliki solusi. Kemungkinan ada kesalahan dalam soal. Seharusnya hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling adalah ∠ACB = 1/2 × ∠AOB. Jika demikian, maka:

∠ACB = 1/2 × ∠AOB
x + 15° = 1/2 × (2x)
x + 15° = x

Persamaan ini juga tidak memiliki solusi. Kemungkinan besar terdapat kesalahan dalam data soal. Misalnya, jika ∠ACB = x + 5°, maka:

x + 5° = 1/2 × (2x)
x + 5° = x

Persamaan ini juga tidak memiliki solusi.

Kesimpulan

Memahami konsep sudut pusat dan sudut keliling, serta hubungannya dengan busur yang dihadapinya, adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai permasalahan geometri lingkaran. Melalui contoh-contoh soal yang telah dibahas, diharapkan Anda dapat lebih memahami dan mengaplikasikan konsep ini dalam menyelesaikan soal-soal yang lebih kompleks. Perhatikan dengan seksama informasi yang diberikan dalam soal dan gunakan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling untuk mencari solusi yang tepat. Selalu ingat sifat-sifat penting lainnya seperti sifat segi empat tali busur dan sudut keliling yang menghadap diameter. Dengan latihan yang konsisten, Anda akan semakin mahir dalam menyelesaikan soal-soal geometri lingkaran yang melibatkan sudut pusat dan sudut keliling.