Mengupas Tuntas Peluang Bebas: Contoh Soal Dan Pembahasan Mendalam

Peluang bebas (independent events) adalah konsep fundamental dalam teori probabilitas. Dua kejadian dikatakan bebas jika terjadinya salah satu kejadian tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian lainnya. Pemahaman tentang peluang bebas sangat penting dalam berbagai bidang, mulai dari statistika, keuangan, hingga ilmu komputer.

Dalam artikel ini, kita akan membahas secara mendalam mengenai peluang bebas, dimulai dari definisi formalnya, rumus yang digunakan, hingga contoh soal yang beragam dengan pembahasan yang detail. Dengan memahami contoh-contoh ini, diharapkan pembaca dapat menguasai konsep peluang bebas dan mampu mengaplikasikannya dalam berbagai situasi.

Definisi Formal Peluang Bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Dimana:

• P(A ∩ B) adalah peluang terjadinya kejadian A dan B secara bersamaan.
• P(A) adalah peluang terjadinya kejadian A.
• P(B) adalah peluang terjadinya kejadian B.

Intinya, jika peluang terjadinya A dan B secara bersamaan sama dengan hasil perkalian peluang masing-masing kejadian, maka A dan B adalah kejadian yang bebas.

Rumus Peluang Bebas

Rumus dasar untuk menghitung peluang kejadian bebas adalah:

P(A dan B) = P(A) * P(B)

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua kejadian. Jika A, B, C, …, N adalah kejadian yang bebas, maka:

P(A dan B dan C dan … dan N) = P(A) P(B) P(C) … P(N)

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal tentang peluang bebas dengan pembahasan yang detail:

Contoh Soal 1: Pelemparan Koin dan Dadu

Sebuah koin dilempar sekali dan sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah peluang mendapatkan sisi gambar pada koin dan angka 4 pada dadu?

Pembahasan:

Kejadian melempar koin dan melempar dadu adalah kejadian yang bebas karena hasil pelemparan koin tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu, dan sebaliknya.

• Peluang mendapatkan sisi gambar pada koin (P(Gambar)) = 1/2 (karena ada 2 sisi: gambar dan angka)
• Peluang mendapatkan angka 4 pada dadu (P(4)) = 1/6 (karena ada 6 sisi: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Maka, peluang mendapatkan sisi gambar pada koin dan angka 4 pada dadu adalah:

P(Gambar dan 4) = P(Gambar) P(4) = (1/2) (1/6) = 1/12

Jadi, peluang mendapatkan sisi gambar pada koin dan angka 4 pada dadu adalah 1/12.

Contoh Soal 2: Penarikan Kartu dengan Pengembalian

Sebuah kartu ditarik secara acak dari setumpuk kartu bridge (52 kartu). Kartu tersebut dikembalikan ke dalam tumpukan, lalu kartu lain ditarik secara acak. Berapakah peluang mendapatkan kartu As pada kedua penarikan?

Pembahasan:

Karena kartu dikembalikan setelah penarikan pertama, maka penarikan kedua tidak dipengaruhi oleh hasil penarikan pertama. Dengan kata lain, kedua penarikan tersebut adalah kejadian yang bebas.

• Peluang mendapatkan kartu As pada penarikan pertama (P(As1)) = 4/52 = 1/13 (karena ada 4 kartu As dalam 52 kartu)
• Peluang mendapatkan kartu As pada penarikan kedua (P(As2)) = 4/52 = 1/13 (karena kartu dikembalikan dan tumpukan kartu kembali lengkap)

Maka, peluang mendapatkan kartu As pada kedua penarikan adalah:

P(As1 dan As2) = P(As1) P(As2) = (1/13) (1/13) = 1/169

Jadi, peluang mendapatkan kartu As pada kedua penarikan adalah 1/169.

Contoh Soal 3: Melempar Dua Dadu

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Berapakah peluang mendapatkan angka 6 pada dadu pertama dan angka ganjil pada dadu kedua?

Pembahasan:

Hasil lemparan dadu pertama tidak mempengaruhi hasil lemparan dadu kedua, sehingga kedua kejadian ini bebas.

• Peluang mendapatkan angka 6 pada dadu pertama (P(6)) = 1/6
• Peluang mendapatkan angka ganjil pada dadu kedua (P(Ganjil)) = 3/6 = 1/2 (karena ada 3 angka ganjil: 1, 3, 5)

Maka, peluang mendapatkan angka 6 pada dadu pertama dan angka ganjil pada dadu kedua adalah:

P(6 dan Ganjil) = P(6) P(Ganjil) = (1/6) (1/2) = 1/12

Jadi, peluang mendapatkan angka 6 pada dadu pertama dan angka ganjil pada dadu kedua adalah 1/12.

Contoh Soal 4: Mesin Produksi

Sebuah pabrik memiliki dua mesin produksi, A dan B. Mesin A menghasilkan 60% dari total produksi, dan 4% dari produk yang dihasilkan mesin A cacat. Mesin B menghasilkan 40% dari total produksi, dan 5% dari produk yang dihasilkan mesin B cacat. Jika sebuah produk dipilih secara acak dari total produksi, berapakah peluang produk tersebut cacat?

Pembahasan:

Meskipun produk cacat bisa berasal dari mesin A atau mesin B, kejadian "produk cacat dari mesin A" dan "produk cacat dari mesin B" tidak bebas. Kita perlu menggunakan konsep peluang total.

• P(A) = 0.6 (peluang produk berasal dari mesin A)
• P(B) = 0.4 (peluang produk berasal dari mesin B)
• P(Cacat|A) = 0.04 (peluang produk cacat jika berasal dari mesin A)
• P(Cacat|B) = 0.05 (peluang produk cacat jika berasal dari mesin B)

Peluang produk cacat adalah:

P(Cacat) = P(Cacat|A) P(A) + P(Cacat|B) P(B)
P(Cacat) = (0.04 0.6) + (0.05 0.4)
P(Cacat) = 0.024 + 0.02
P(Cacat) = 0.044

Jadi, peluang produk tersebut cacat adalah 0.044 atau 4.4%.

Contoh Soal 5: Tiga Orang Menembak Sasaran

Tiga orang, A, B, dan C, menembak sasaran secara bersamaan. Peluang A mengenai sasaran adalah 0.7, peluang B mengenai sasaran adalah 0.8, dan peluang C mengenai sasaran adalah 0.6. Berapakah peluang bahwa setidaknya satu orang mengenai sasaran?

Pembahasan:

Kejadian A mengenai sasaran, B mengenai sasaran, dan C mengenai sasaran adalah kejadian yang bebas. Lebih mudah menghitung peluang tidak ada yang mengenai sasaran, lalu mengurangkannya dari 1.

• P(A tidak mengenai sasaran) = 1 – 0.7 = 0.3
• P(B tidak mengenai sasaran) = 1 – 0.8 = 0.2
• P(C tidak mengenai sasaran) = 1 – 0.6 = 0.4

Peluang tidak ada yang mengenai sasaran adalah:

P(Tidak ada yang mengenai) = P(A tidak mengenai) P(B tidak mengenai) P(C tidak mengenai)
P(Tidak ada yang mengenai) = 0.3 0.2 0.4 = 0.024

Maka, peluang setidaknya satu orang mengenai sasaran adalah:

P(Setidaknya satu mengenai) = 1 – P(Tidak ada yang mengenai) = 1 – 0.024 = 0.976

Jadi, peluang bahwa setidaknya satu orang mengenai sasaran adalah 0.976 atau 97.6%.

Contoh Soal 6: Sistem Paralel dengan Dua Komponen

Sebuah sistem terdiri dari dua komponen yang bekerja secara paralel. Sistem akan berfungsi jika setidaknya salah satu komponen berfungsi. Peluang komponen A berfungsi adalah 0.9, dan peluang komponen B berfungsi adalah 0.8. Asumsikan bahwa kedua komponen bekerja secara independen. Berapakah peluang sistem berfungsi?

Pembahasan:

Mirip dengan contoh sebelumnya, lebih mudah menghitung peluang sistem tidak berfungsi (yaitu, kedua komponen gagal berfungsi) lalu mengurangkannya dari 1.

• P(A gagal berfungsi) = 1 – 0.9 = 0.1
• P(B gagal berfungsi) = 1 – 0.8 = 0.2

Peluang sistem tidak berfungsi adalah:

P(Sistem tidak berfungsi) = P(A gagal berfungsi) P(B gagal berfungsi) = 0.1 0.2 = 0.02

Maka, peluang sistem berfungsi adalah:

P(Sistem berfungsi) = 1 – P(Sistem tidak berfungsi) = 1 – 0.02 = 0.98

Jadi, peluang sistem berfungsi adalah 0.98 atau 98%.

Contoh Soal 7: Ujian dengan Pilihan Ganda

Seorang siswa mengerjakan ujian dengan 10 soal pilihan ganda. Setiap soal memiliki 4 pilihan jawaban, dan hanya satu jawaban yang benar. Jika siswa tersebut menjawab semua soal secara acak, berapakah peluang dia menjawab semua soal dengan benar?

Pembahasan:

Kejadian menjawab setiap soal dengan benar adalah kejadian yang bebas.

• Peluang menjawab satu soal dengan benar = 1/4

Maka, peluang menjawab semua 10 soal dengan benar adalah:

P(Semua benar) = (1/4) (1/4) (1/4) * … (10 kali) = (1/4)^10 = 1/1048576

Jadi, peluang siswa menjawab semua soal dengan benar adalah 1/1048576, yang sangat kecil.

Contoh Soal 8: Produksi Barang dengan Dua Mesin

Mesin A memproduksi 70% dari total barang, dengan tingkat kerusakan 3%. Mesin B memproduksi 30% dari total barang, dengan tingkat kerusakan 5%. Jika sebuah barang dipilih secara acak dan ternyata rusak, berapakah peluang barang tersebut diproduksi oleh mesin A?

Pembahasan:

Ini adalah contoh soal yang menggunakan teorema Bayes, yang terkait erat dengan peluang bersyarat dan peluang total. Kita ingin mencari P(A|Rusak), yaitu peluang barang diproduksi oleh mesin A jika barang tersebut rusak.

• P(A) = 0.7 (peluang barang diproduksi oleh mesin A)
• P(B) = 0.3 (peluang barang diproduksi oleh mesin B)
• P(Rusak|A) = 0.03 (peluang barang rusak jika diproduksi oleh mesin A)
• P(Rusak|B) = 0.05 (peluang barang rusak jika diproduksi oleh mesin B)

Pertama, kita hitung P(Rusak) menggunakan peluang total:

P(Rusak) = P(Rusak|A) P(A) + P(Rusak|B) P(B)
P(Rusak) = (0.03 0.7) + (0.05 0.3)
P(Rusak) = 0.021 + 0.015
P(Rusak) = 0.036

Kemudian, kita gunakan teorema Bayes:

P(A|Rusak) = [P(Rusak|A) P(A)] / P(Rusak)
P(A|Rusak) = (0.03 0.7) / 0.036
P(A|Rusak) = 0.021 / 0.036
P(A|Rusak) = 0.5833 (kira-kira)

Jadi, peluang barang tersebut diproduksi oleh mesin A jika barang tersebut rusak adalah sekitar 58.33%.

Kesimpulan

Peluang bebas adalah konsep penting dalam teori probabilitas. Dengan memahami definisi, rumus, dan berbagai contoh soal yang telah dibahas, diharapkan pembaca dapat mengaplikasikan konsep ini dalam berbagai situasi. Penting untuk selalu memeriksa apakah suatu kejadian benar-benar bebas sebelum menerapkan rumus peluang bebas. Jika kejadian tidak bebas, maka perlu digunakan konsep peluang bersyarat dan peluang total. Latihan dengan berbagai jenis soal akan membantu memperkuat pemahaman dan kemampuan dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan peluang bebas.