Mengupas Tuntas Hubungan Torsi Dan Momen Inersia: Contoh Soal Dan Pembahasannya

Dalam dunia fisika, khususnya mekanika rotasi, torsi dan momen inersia adalah dua konsep penting yang saling terkait erat. Torsi, yang sering disebut sebagai gaya putar, adalah penyebab benda berotasi, sementara momen inersia adalah ukuran resistensi benda terhadap perubahan kecepatan rotasi. Pemahaman yang mendalam tentang hubungan keduanya sangat krusial untuk menganalisis berbagai fenomena, mulai dari pergerakan roda hingga putaran planet.

Artikel ini akan membahas secara komprehensif hubungan antara torsi dan momen inersia, dilengkapi dengan contoh soal yang bervariasi dan pembahasan detail. Dengan memahami konsep ini dan berlatih dengan contoh soal, Anda akan mampu menyelesaikan permasalahan mekanika rotasi dengan lebih mudah dan akurat.

Dasar Teori: Torsi dan Momen Inersia

Sebelum membahas contoh soal, mari kita review kembali definisi dan konsep dasar torsi dan momen inersia:

• Torsi (τ): Torsi adalah ukuran kemampuan suatu gaya untuk menyebabkan benda berotasi terhadap suatu sumbu. Secara matematis, torsi didefinisikan sebagai:

  τ = r x F = rF sin θ

  Also Read: Sukses CPNS 2024: Bedah Contoh Soal Dan Strategi Jitu Menaklukkan Tes SKD

  dimana:

  • τ adalah torsi (Newton-meter atau Nm)
  • r adalah vektor posisi dari sumbu rotasi ke titik di mana gaya diterapkan (meter atau m)
  • F adalah gaya yang diterapkan (Newton atau N)
  • θ adalah sudut antara vektor posisi r dan vektor gaya F

  Torsi positif menyebabkan rotasi berlawanan arah jarum jam, sedangkan torsi negatif menyebabkan rotasi searah jarum jam.

• Momen Inersia (I): Momen inersia adalah ukuran resistensi suatu benda terhadap perubahan kecepatan rotasinya. Semakin besar momen inersia suatu benda, semakin sulit untuk mengubah kecepatan rotasinya. Momen inersia bergantung pada massa benda dan distribusi massa tersebut terhadap sumbu rotasi.

  Also Read: Menguasai Teknik Integral Substitusi: Panduan Lengkap Dengan Contoh Soal Dan Pembahasan Mendalam

  • Untuk partikel tunggal dengan massa m yang berjarak r dari sumbu rotasi, momen inersianya adalah:

    I = mr²

  • Untuk benda tegar yang terdiri dari banyak partikel, momen inersianya adalah jumlah momen inersia dari semua partikel:

    Also Read: Bedah Tuntas Contoh Soal UTBK Saintek 2024: Strategi Dan Pembahasan Lengkap

    I = Σ mr²

  Momen inersia memiliki satuan kilogram meter persegi (kg m²).

Hubungan Torsi dan Momen Inersia

Hubungan fundamental antara torsi dan momen inersia dinyatakan oleh hukum Newton kedua untuk rotasi:

τ = Iα

dimana:

• τ adalah torsi total yang bekerja pada benda (Nm)
• I adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi (kg m²)
• α adalah percepatan sudut benda (radian per detik kuadrat atau rad/s²)

Persamaan ini analog dengan hukum Newton kedua untuk gerak linear (F = ma), di mana torsi berperan sebagai gaya, momen inersia berperan sebagai massa, dan percepatan sudut berperan sebagai percepatan linear.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal yang mengilustrasikan hubungan antara torsi dan momen inersia, beserta pembahasannya yang mendalam:

Contoh Soal 1:

Sebuah roda dengan momen inersia 2 kg m² mengalami torsi konstan sebesar 10 Nm. Hitung percepatan sudut roda tersebut.

Pembahasan:

Kita dapat menggunakan persamaan τ = Iα untuk menghitung percepatan sudut:

α = τ / I = 10 Nm / 2 kg m² = 5 rad/s²

Jadi, percepatan sudut roda adalah 5 rad/s².

Contoh Soal 2:

Sebuah silinder pejal dengan massa 5 kg dan jari-jari 0.2 m berputar di sekitar sumbunya. Sebuah gaya tangensial sebesar 20 N diterapkan pada tepi silinder. Hitung:

a) Torsi yang bekerja pada silinder.
b) Percepatan sudut silinder.

Pembahasan:

a) Torsi yang bekerja pada silinder adalah:

τ = rF = (0.2 m)(20 N) = 4 Nm

b) Momen inersia silinder pejal terhadap sumbunya adalah:

I = (1/2)MR² = (1/2)(5 kg)(0.2 m)² = 0.1 kg m²

Percepatan sudut silinder adalah:

α = τ / I = 4 Nm / 0.1 kg m² = 40 rad/s²

Contoh Soal 3:

Sebuah batang homogen dengan panjang 1 m dan massa 2 kg diputar di sekitar salah satu ujungnya. Sebuah gaya 10 N diterapkan pada ujung batang yang lain, tegak lurus terhadap batang. Hitung percepatan sudut batang.

Pembahasan:

Torsi yang bekerja pada batang adalah:

τ = rF = (1 m)(10 N) = 10 Nm

Momen inersia batang homogen yang diputar di sekitar salah satu ujungnya adalah:

I = (1/3)ML² = (1/3)(2 kg)(1 m)² = 2/3 kg m²

Percepatan sudut batang adalah:

α = τ / I = 10 Nm / (2/3 kg m²) = 15 rad/s²

Contoh Soal 4:

Dua buah roda dihubungkan dengan sabuk. Roda A memiliki jari-jari 0.1 m dan momen inersia 0.05 kg m². Roda B memiliki jari-jari 0.2 m dan momen inersia 0.2 kg m². Jika roda A diberi torsi 2 Nm, hitung percepatan sudut roda B.

Pembahasan:

Karena roda-roda dihubungkan dengan sabuk, kecepatan linear di tepi kedua roda adalah sama:

vA = vB

rAωA = rBωB

0. 1ωA = 0.2ωB

ωA = 2ωB

Turunkan terhadap waktu untuk mendapatkan hubungan antara percepatan sudut:

αA = 2αB

Percepatan sudut roda A adalah:

αA = τA / IA = 2 Nm / 0.05 kg m² = 40 rad/s²

Maka, percepatan sudut roda B adalah:

αB = αA / 2 = 40 rad/s² / 2 = 20 rad/s²

Contoh Soal 5:

Sebuah bola pejal (I = (2/5)MR²) menggelinding menuruni bidang miring tanpa tergelincir. Jika tinggi bidang miring adalah h, hitung kecepatan linear bola saat mencapai dasar bidang miring.

Pembahasan:

Saat bola menggelinding menuruni bidang miring, energi potensial gravitasi diubah menjadi energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. Karena bola menggelinding tanpa tergelincir, ada hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut: v = rω.

Konservasi energi:

mgh = (1/2)mv² + (1/2)Iω²

Substitusikan I = (2/5)MR² dan ω = v/r:

mgh = (1/2)mv² + (1/2)(2/5)MR²(v/r)²

mgh = (1/2)mv² + (1/5)mv²

mgh = (7/10)mv²

v² = (10/7)gh

v = √(10gh/7)

Contoh Soal 6:

Sebuah katrol dengan momen inersia 0.1 kg m² dan jari-jari 0.1 m digunakan untuk mengangkat beban bermassa 2 kg. Hitung tegangan tali dan percepatan sudut katrol.

Pembahasan:

Gaya yang bekerja pada beban adalah tegangan tali (T) ke atas dan gaya gravitasi (mg) ke bawah. Hukum Newton kedua untuk beban:

T – mg = ma

T = ma + mg

Torsi yang bekerja pada katrol adalah:

τ = rT = (0.1 m)T

Hubungan torsi dan momen inersia:

τ = Iα

(0.1 m)T = (0.1 kg m²)α

Karena tali tidak slip, percepatan linear beban sama dengan percepatan tangensial di tepi katrol: a = rα

a = (0.1 m)α

Substitusikan a = (0.1 m)α dan T = ma + mg ke dalam persamaan torsi:

(0.1 m)(ma + mg) = (0.1 kg m²)α

(0.1 m)(2 kg)(0.1 m)α + (0.1 m)(2 kg)(9.8 m/s²) = (0.1 kg m²)α

0. 02α + 1.96 = 0.1α

   Also Read: Membedah Contoh Soal OSN Matematika SMP 2024: Strategi Dan Pemahaman Konsep

1. 96 = 0.08α

α = 1.96 / 0.08 = 24.5 rad/s²

Kemudian, hitung percepatan linear:

a = (0.1 m)α = (0.1 m)(24.5 rad/s²) = 2.45 m/s²

Terakhir, hitung tegangan tali:

T = ma + mg = (2 kg)(2.45 m/s²) + (2 kg)(9.8 m/s²) = 4.9 N + 19.6 N = 24.5 N

Kesimpulan

Memahami hubungan antara torsi dan momen inersia adalah kunci untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam mekanika rotasi. Artikel ini telah memberikan dasar teori yang kuat dan contoh soal yang bervariasi untuk membantu Anda memahami dan menerapkan konsep ini. Dengan berlatih secara konsisten, Anda akan mampu menguasai mekanika rotasi dan menyelesaikan soal-soal yang lebih kompleks. Ingatlah untuk selalu memperhatikan satuan dan arah torsi serta momen inersia untuk mendapatkan hasil yang akurat. Teruslah belajar dan berlatih!