Menaklukkan Nilai Mutlak Di UTBK: Contoh Soal Dan Pembahasan Mendalam

Nilai mutlak, konsep matematika yang seringkali dianggap sederhana namun menyimpan potensi jebakan, merupakan salah satu materi yang kerap muncul dalam Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK). Memahami konsep nilai mutlak dan aplikasinya dalam menyelesaikan berbagai jenis soal adalah kunci penting untuk meraih skor tinggi di UTBK. Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai nilai mutlak, sifat-sifatnya, dan yang terpenting, menyajikan contoh-contoh soal UTBK beserta pembahasan lengkapnya. Dengan memahami contoh-contoh ini, diharapkan Anda dapat lebih siap menghadapi soal-soal nilai mutlak yang mungkin muncul di UTBK.

Apa Itu Nilai Mutlak?

Secara sederhana, nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Nilai mutlak selalu non-negatif, artinya nilainya selalu positif atau nol. Secara matematis, nilai mutlak dari x ditulis sebagai |x| dan didefinisikan sebagai berikut:

• |x| = x, jika x ≥ 0
• |x| = –x, jika x < 0

Sifat-Sifat Penting Nilai Mutlak

Memahami sifat-sifat nilai mutlak akan sangat membantu dalam menyelesaikan soal-soal yang kompleks. Berikut adalah beberapa sifat penting yang perlu Anda ketahui:

1. |x| ≥ 0 : Nilai mutlak selalu non-negatif.
2. |x| = |-x| : Nilai mutlak suatu bilangan sama dengan nilai mutlak negatifnya.
3. |xy| = |x| |y| : Nilai mutlak hasil perkalian sama dengan perkalian nilai mutlak masing-masing.
4. |x/y| = |x| / |y|, (y ≠ 0) : Nilai mutlak hasil pembagian sama dengan pembagian nilai mutlak masing-masing (dengan penyebut tidak nol).
5. |x + y| ≤ |x| + |y| : Ketidaksamaan segitiga.
6. |x – y| ≥ ||x| – |y|| : Ketidaksamaan segitiga variasi.
7. |x| = √(x²) : Nilai mutlak sama dengan akar kuadrat dari kuadrat bilangan tersebut.
8. |x| = a ↔ x = a atau x = –a, (a ≥ 0) : Definisi nilai mutlak untuk persamaan.
9. |x| < a ↔ –a < x < a, (a > 0) : Definisi nilai mutlak untuk pertidaksamaan (kurang dari).
10. |x| > a ↔ x < –a atau x > a, (a > 0) : Definisi nilai mutlak untuk pertidaksamaan (lebih dari).

Contoh Soal UTBK dan Pembahasan

Sekarang, mari kita lihat beberapa contoh soal UTBK yang melibatkan nilai mutlak dan bagaimana cara menyelesaikannya:

Contoh Soal 1:

Nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 1| = 5 adalah…

A. x = -3 atau x = 2
B. x = -2 atau x = 3
C. x = -3 atau x = -2
D. x = 2 atau x = 3
E. x = -2 atau x = -3

Pembahasan:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita pecah persamaan menjadi dua kasus:

• Kasus 1: 2x – 1 = 5
  • 2x = 6
  • x = 3
• Kasus 2: 2x – 1 = -5
  • 2x = -4
  • x = -2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = -2 atau x = 3.

Jawaban: B

Contoh Soal 2:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 3| < 2 adalah…

A. x < 1
B. x
C. 1 < x < 5
D. -5 < x < -1
E. x

Pembahasan:

Berdasarkan sifat nilai mutlak untuk pertidaksamaan (kurang dari), kita dapat menuliskan:

–2 < x – 3 < 2

Tambahkan 3 ke semua ruas:

–2 + 3 < x – 3 + 3 < 2 + 3

1 < x < 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 1 < x < 5 .

Jawaban: C

Contoh Soal 3:

Jika |3x – 6| ≥ 9, maka nilai x yang memenuhi adalah…

A. x ≤ -1 atau x ≥ 5
B. x ≤ 1 atau x ≥ -5
C. -5 ≤ x ≤ 1
D. -1 ≤ x ≤ 5
E. x ≤ -5 atau x ≥ 1

Pembahasan:

Berdasarkan sifat nilai mutlak untuk pertidaksamaan (lebih dari), kita pecah pertidaksamaan menjadi dua kasus:

• Kasus 1: 3x – 6 ≥ 9
  • 3x ≥ 15
  • x ≥ 5
• Kasus 2: 3x – 6 ≤ -9
  • 3x ≤ -3
  • x ≤ -1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ -1 atau x ≥ 5.

Jawaban: A

Contoh Soal 4:

Nilai x yang memenuhi persamaan |x – 2| + |x + 3| = 5 adalah…

A. -3 ≤ x ≤ 2
B. x = -3 atau x = 2
C. x = -3
D. x = 2
E. Tidak ada nilai x yang memenuhi

Pembahasan:

Soal ini memerlukan analisis yang lebih mendalam. Kita perlu memecah garis bilangan menjadi beberapa interval berdasarkan nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol, yaitu x = 2 dan x = -3.

• Interval 1: x < -3
  • Pada interval ini, x – 2 < 0 dan x + 3 < 0, sehingga:
  • -(x – 2) – (x + 3) = 5
  • –x + 2 – x – 3 = 5
  • -2x – 1 = 5
  • -2x = 6
  • x = -3 (Tidak memenuhi karena x < -3)
• Interval 2: -3 ≤ x ≤ 2
  • Pada interval ini, x – 2 ≤ 0 dan x + 3 ≥ 0, sehingga:
  • -(x – 2) + (x + 3) = 5
  • –x + 2 + x + 3 = 5
  • 5 = 5 (Pernyataan ini selalu benar, artinya semua nilai x dalam interval ini memenuhi persamaan)
• Interval 3: x > 2
  • Pada interval ini, x – 2 > 0 dan x + 3 > 0, sehingga:
  • (x – 2) + (x + 3) = 5
  • 2x + 1 = 5
  • 2x = 4
  • x = 2 (Tidak memenuhi karena x > 2)

Dari analisis di atas, kita menemukan bahwa persamaan dipenuhi untuk semua nilai x dalam interval -3 ≤ x ≤ 2.

Jawaban: A

Contoh Soal 5:

Nilai minimum dari fungsi f(x) = |x – 1| + |x – 2| + |x – 3| adalah…

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Pembahasan:

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi ini, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai x yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol, yaitu x = 1, x = 2, dan x = 3.

• Kasus 1: x ≤ 1
  • f(x) = -( x – 1) – (x – 2) – (x – 3) = -3x + 6
  • Fungsi ini menurun seiring dengan meningkatnya x. Nilai minimum pada interval ini terjadi saat x = 1, yaitu f(1) = 3.
• Kasus 2: 1 < x ≤ 2
  • f(x) = (x – 1) – (x – 2) – (x – 3) = –x + 4
  • Fungsi ini menurun seiring dengan meningkatnya x. Nilai minimum pada interval ini terjadi saat x = 2, yaitu f(2) = 2.
• Kasus 3: 2 < x ≤ 3
  • f(x) = (x – 1) + (x – 2) – (x – 3) = x
  • Fungsi ini meningkat seiring dengan meningkatnya x. Nilai minimum pada interval ini terjadi saat x = 2 (mendekati 2 dari kanan), yaitu f(2) = 2.
• Kasus 4: x > 3
  • f(x) = (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 3x – 6
  • Fungsi ini meningkat seiring dengan meningkatnya x. Nilai minimum pada interval ini terjadi saat x = 3, yaitu f(3) = 3.

Dari semua kasus, nilai minimum fungsi f(x) adalah 2.

Jawaban: C

Tips dan Trik Menghadapi Soal Nilai Mutlak di UTBK:

• Pahami Definisi dan Sifat-Sifat: Kuasai definisi nilai mutlak dan sifat-sifatnya. Ini adalah fondasi untuk menyelesaikan soal-soal yang lebih kompleks.
• Pecah Kasus: Untuk persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan beberapa ekspresi nilai mutlak, pecah garis bilangan menjadi interval-interval berdasarkan nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol.
• Perhatikan Tanda: Hati-hati dengan tanda negatif saat menghilangkan tanda nilai mutlak.
• Gunakan Grafik: Jika memungkinkan, visualisasikan fungsi nilai mutlak dengan menggambar grafiknya. Ini dapat membantu Anda memahami perilaku fungsi dan mencari nilai minimum atau maksimum.
• Latihan Soal: Kerjakan sebanyak mungkin contoh soal UTBK dan variasi soal lainnya. Semakin banyak Anda berlatih, semakin terbiasa Anda dengan berbagai jenis soal dan strategi penyelesaiannya.
• Manajemen Waktu: UTBK memiliki batasan waktu, jadi latih kemampuan Anda dalam menyelesaikan soal dengan cepat dan tepat.

Kesimpulan

Nilai mutlak merupakan materi penting yang perlu dikuasai untuk menghadapi UTBK. Dengan memahami definisi, sifat-sifat, dan berbagai jenis soal beserta pembahasannya, Anda akan lebih siap dan percaya diri dalam mengerjakan soal-soal nilai mutlak di UTBK. Ingatlah untuk terus berlatih dan mengasah kemampuan Anda agar dapat meraih skor yang optimal. Semoga sukses!