Memahami Variabel Acak Diskrit Melalui Contoh Soal: Panduan Lengkap

Variabel acak diskrit adalah konsep fundamental dalam statistika dan probabilitas. Memahami variabel acak diskrit penting untuk menganalisis dan memprediksi berbagai kejadian dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari melempar dadu hingga memprediksi jumlah pelanggan yang datang ke toko dalam satu jam. Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai variabel acak diskrit melalui serangkaian contoh soal yang beragam, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah. Tujuannya adalah untuk memberikan pemahaman yang komprehensif dan praktis tentang konsep ini.

Apa Itu Variabel Acak Diskrit?

Sebelum membahas contoh soal, mari kita definisikan terlebih dahulu apa itu variabel acak diskrit.

• Variabel Acak: Variabel acak adalah variabel yang nilainya merupakan hasil numerik dari suatu fenomena acak. Dengan kata lain, nilai variabel ini tidak dapat dipastikan sebelumnya, melainkan ditentukan oleh hasil dari suatu percobaan atau observasi.
• Diskrit: Kata "diskrit" mengacu pada fakta bahwa variabel tersebut hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah. Nilai-nilai ini biasanya berupa bilangan bulat dan dapat dihitung. Contohnya, jumlah anak dalam sebuah keluarga, jumlah mobil yang melewati jalan tol dalam satu jam, atau jumlah kepala yang muncul dalam serangkaian lemparan koin.

Ciri-Ciri Variabel Acak Diskrit:

• Nilai-nilainya dapat dihitung (countable).
• Nilai-nilainya biasanya berupa bilangan bulat.
• Antara dua nilai yang berdekatan, tidak ada nilai lain yang mungkin.
• Representasi grafisnya biasanya berupa diagram batang atau histogram.

Distribusi Probabilitas Diskrit:

Setiap nilai dari variabel acak diskrit memiliki probabilitas terkait. Kumpulan semua nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit beserta probabilitasnya disebut sebagai distribusi probabilitas diskrit. Distribusi probabilitas ini harus memenuhi dua syarat utama:

1. Probabilitas setiap nilai harus berada antara 0 dan 1 (inklusif).
2. Jumlah semua probabilitas harus sama dengan 1.

Contoh Soal Variabel Acak Diskrit dan Pembahasan:

Berikut adalah beberapa contoh soal variabel acak diskrit yang beragam, beserta pembahasan langkah demi langkah:

Contoh Soal 1: Pelemparan Dadu

Sebuah dadu enam sisi dilempar sekali. Misalkan X adalah variabel acak yang menyatakan angka yang muncul pada dadu.

• a) Tentukan ruang sampel (S) dari percobaan ini.
• b) Tentukan nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak X.
• c) Tentukan distribusi probabilitas dari variabel acak X.
• d) Hitung probabilitas munculnya angka genap.
• e) Hitung probabilitas munculnya angka lebih besar dari 4.

Pembahasan:

• a) Ruang Sampel (S): Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Dalam kasus pelemparan dadu, ruang sampelnya adalah: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
• b) Nilai Variabel Acak X: Variabel acak X dapat mengambil nilai apa pun dari ruang sampel. Jadi, nilai-nilai yang mungkin dari X adalah: X = 1, 2, 3, 4, 5, 6

• c) Distribusi Probabilitas: Karena dadu memiliki enam sisi yang sama, maka setiap angka memiliki probabilitas yang sama untuk muncul. Jadi, distribusi probabilitasnya adalah:

  Also Read: Contoh Soal UTBK Jurusan Akuntansi: Panduan Komprehensif Dan Pembahasan Mendalam

  Nilai X	Probabilitas P(X)
  1	1/6
  2	1/6
  3	1/6
  4	1/6
  5	1/6
  6	1/6

• d) Probabilitas Munculnya Angka Genap: Angka genap pada dadu adalah 2, 4, dan 6. Jadi, probabilitas munculnya angka genap adalah:

  P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

• e) Probabilitas Munculnya Angka Lebih Besar dari 4: Angka yang lebih besar dari 4 pada dadu adalah 5 dan 6. Jadi, probabilitas munculnya angka lebih besar dari 4 adalah:

  Also Read: Memahami Dan Menghitung Nilai Akhir Rente Pranumerando: Contoh Soal Dan Pembahasan Lengkap

  P(X = 5) + P(X = 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Contoh Soal 2: Pelemparan Koin

Sebuah koin dilempar tiga kali. Misalkan Y adalah variabel acak yang menyatakan jumlah kepala yang muncul.

• a) Tentukan ruang sampel (S) dari percobaan ini.
• b) Tentukan nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak Y.
• c) Tentukan distribusi probabilitas dari variabel acak Y.
• d) Hitung probabilitas munculnya tepat 2 kepala.
• e) Hitung probabilitas munculnya minimal 1 kepala.

Pembahasan:

• a) Ruang Sampel (S): Ruang sampel adalah semua kemungkinan hasil dari tiga kali pelemparan koin:

  S = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT (H = Kepala, T = Ekor)

  Also Read: 7 Rekomendasi Laptop Thunderbolt 3 Termurah
• b) Nilai Variabel Acak Y: Variabel acak Y menyatakan jumlah kepala. Jadi, nilai-nilai yang mungkin adalah: Y = 0, 1, 2, 3

• c) Distribusi Probabilitas: Kita perlu menghitung probabilitas setiap nilai dari Y:

  • P(Y = 0) = P(TTT) = 1/8
  • P(Y = 1) = P(HTT, THT, TTH) = 3/8
  • P(Y = 2) = P(HHT, HTH, THH) = 3/8
  • P(Y = 3) = P(HHH) = 1/8

  Distribusi probabilitasnya adalah:

  Nilai Y	Probabilitas P(Y)
  0	1/8
  1	3/8
  2	3/8
  3	1/8

• d) Probabilitas Munculnya Tepat 2 Kepala: P(Y = 2) = 3/8

• e) Probabilitas Munculnya Minimal 1 Kepala: Ini sama dengan 1 dikurangi probabilitas tidak muncul kepala sama sekali:

  Also Read: Membongkar Soal Psikotes PT SIIX: Panduan Lengkap Dengan Contoh Dan Tips Sukses

  P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – 1/8 = 7/8

Contoh Soal 3: Jumlah Pelanggan di Toko

Seorang pemilik toko mencatat jumlah pelanggan yang datang ke tokonya setiap jam selama seminggu. Data menunjukkan bahwa rata-rata 5 pelanggan datang setiap jam. Misalkan Z adalah variabel acak yang menyatakan jumlah pelanggan yang datang ke toko dalam satu jam. Asumsikan bahwa Z mengikuti distribusi Poisson.

• a) Tentukan parameter dari distribusi Poisson ini.
• b) Hitung probabilitas bahwa tidak ada pelanggan yang datang dalam satu jam.
• c) Hitung probabilitas bahwa tepat 3 pelanggan datang dalam satu jam.
• d) Hitung probabilitas bahwa lebih dari 5 pelanggan datang dalam satu jam.

Pembahasan:

• a) Parameter Distribusi Poisson: Distribusi Poisson memiliki satu parameter, yaitu λ (lambda), yang merupakan rata-rata kejadian dalam interval waktu tertentu. Dalam kasus ini, λ = 5.

• b) Probabilitas Tidak Ada Pelanggan: Rumus distribusi Poisson adalah:

  P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

  Also Read: Mengupas Tuntas Soal Psikotes Analogi: Panduan Lengkap Dengan Contoh Dan Pembahasan

  Dimana:

  • X adalah variabel acak (jumlah pelanggan)
  • k adalah nilai yang ingin kita hitung probabilitasnya (0 pelanggan)
  • λ adalah rata-rata (5 pelanggan)
  • e adalah bilangan Euler (sekitar 2.71828)
  • k! adalah faktorial dari k

  Maka, P(Z = 0) = (e^(-5) 5^0) / 0! = (e^(-5) 1) / 1 = e^(-5) ≈ 0.0067

• c) Probabilitas Tepat 3 Pelanggan:

  Also Read: Memahami Dan Menguasai Question Tag: Panduan Lengkap Dengan Contoh Soal

  P(Z = 3) = (e^(-5) 5^3) / 3! = (e^(-5) 125) / 6 ≈ 0.1404

• d) Probabilitas Lebih dari 5 Pelanggan: Ini sama dengan 1 dikurangi probabilitas 5 pelanggan atau kurang:

  P(Z > 5) = 1 – [P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2) + P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5)]

  Also Read: Mengasah Kemampuan Berbahasa Indonesia: Contoh Soal Dan Pembahasan Lengkap

  Kita sudah menghitung P(Z=0) dan P(Z=3). Kita perlu menghitung sisanya:

  • P(Z = 1) = (e^(-5) * 5^1) / 1! ≈ 0.0337
  • P(Z = 2) = (e^(-5) * 5^2) / 2! ≈ 0.0842
  • P(Z = 4) = (e^(-5) * 5^4) / 4! ≈ 0.1755
  • P(Z = 5) = (e^(-5) * 5^5) / 5! ≈ 0.1755

  P(Z > 5) = 1 – [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 + 0.1755 + 0.1755] ≈ 1 – 0.6160 = 0.3840

Contoh Soal 4: Inspeksi Produk

Sebuah perusahaan memproduksi komponen elektronik. Setiap komponen diinspeksi sebelum dikirim. Peluang sebuah komponen cacat adalah 0.05. Sebuah sampel acak 10 komponen diambil. Misalkan W adalah variabel acak yang menyatakan jumlah komponen cacat dalam sampel.

• a) Tentukan distribusi probabilitas yang sesuai untuk variabel acak W.
• b) Hitung probabilitas bahwa tidak ada komponen cacat dalam sampel.
• c) Hitung probabilitas bahwa tepat 1 komponen cacat dalam sampel.
• d) Hitung probabilitas bahwa minimal 2 komponen cacat dalam sampel.

Pembahasan:

• a) Distribusi Probabilitas: Karena kita memiliki sejumlah percobaan (10 komponen), setiap percobaan independen (cacat atau tidak cacat), dan probabilitas keberhasilan (cacat) konstan (0.05), maka variabel acak W mengikuti distribusi Binomial.

• b) Probabilitas Tidak Ada Komponen Cacat: Rumus distribusi Binomial adalah:

  Also Read: Mengupas Tuntas Contoh Soal Psikotes Verbal BCA: Strategi Jitu Menaklukkan Tes Dan Meraih Impian Karir

  P(X = k) = (nCk) p^k (1-p)^(n-k)

  Dimana:

  • X adalah variabel acak (jumlah komponen cacat)
  • k adalah nilai yang ingin kita hitung probabilitasnya (0 komponen)
  • n adalah jumlah percobaan (10 komponen)
  • p adalah probabilitas keberhasilan (0.05)
  • nCk adalah koefisien binomial (kombinasi n diambil k)

  Maka, P(W = 0) = (10C0) (0.05)^0 (0.95)^10 = 1 1 (0.95)^10 ≈ 0.5987

  Also Read: Mengupas Tuntas Contoh Soal Psikotes Numerik: Strategi Jitu Menaklukkan Angka Dan Logika

• c) Probabilitas Tepat 1 Komponen Cacat:

  P(W = 1) = (10C1) (0.05)^1 (0.95)^9 = 10 0.05 (0.95)^9 ≈ 0.3151

• d) Probabilitas Minimal 2 Komponen Cacat: Ini sama dengan 1 dikurangi probabilitas 0 atau 1 komponen cacat:

  Also Read: Membedah Soal Energi Kinetik SMA: Konsep, Rumus, Dan Contoh Soal Dengan Pembahasan Lengkap

  P(W ≥ 2) = 1 – [P(W = 0) + P(W = 1)] = 1 – [0.5987 + 0.3151] ≈ 1 – 0.9138 = 0.0862

Kesimpulan:

Melalui contoh soal di atas, kita telah melihat bagaimana variabel acak diskrit digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena. Pemahaman yang kuat tentang variabel acak diskrit dan distribusi probabilitas terkait sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk statistika, probabilitas, ilmu komputer, teknik, dan keuangan. Dengan berlatih mengerjakan berbagai contoh soal, Anda dapat meningkatkan kemampuan Anda dalam menganalisis dan memprediksi kejadian acak. Ingatlah untuk selalu memahami konteks soal dan memilih distribusi probabilitas yang sesuai. Artikel ini diharapkan dapat menjadi panduan yang bermanfaat bagi Anda dalam mempelajari dan memahami variabel acak diskrit.