Memahami Translasi Dalam Geometri: Contoh Soal Dan Pembahasan Lengkap

Translasi merupakan salah satu transformasi geometri yang mendasar dan seringkali menjadi gerbang untuk memahami transformasi lainnya seperti rotasi, refleksi, dan dilatasi. Secara sederhana, translasi adalah pergeseran objek tanpa mengubah bentuk dan ukurannya. Bayangkan Anda menggeser meja di ruangan tanpa memutarnya atau mengubah ukurannya, itulah esensi dari translasi.

Dalam artikel ini, kita akan membahas secara mendalam mengenai translasi, mulai dari definisi formal, notasi, hingga berbagai contoh soal beserta pembahasannya. Tujuannya adalah untuk memberikan pemahaman yang komprehensif dan aplikatif mengenai translasi, sehingga Anda dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengannya.

Definisi dan Konsep Dasar Translasi

Secara matematis, translasi didefinisikan sebagai transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada objek sejauh vektor tertentu. Vektor ini disebut vektor translasi, dan biasanya dinotasikan dengan T(a, b), di mana:

• a adalah pergeseran horizontal (sepanjang sumbu x). Nilai positif menunjukkan pergeseran ke kanan, sedangkan nilai negatif menunjukkan pergeseran ke kiri.
• b adalah pergeseran vertikal (sepanjang sumbu y). Nilai positif menunjukkan pergeseran ke atas, sedangkan nilai negatif menunjukkan pergeseran ke bawah.

Dengan kata lain, jika kita memiliki sebuah titik P(x, y) dan kita terapkan translasi T(a, b), maka bayangan titik tersebut akan menjadi P'(x’, y’) di mana:

• x’ = x + a
• y’ = y + b

Secara umum, translasi dapat dituliskan dalam bentuk matriks:

[x'] = [1 0] [x] + [a]
[y']   [0 1] [y]   [b]

Matriks [1 0; 0 1] adalah matriks identitas 2×2, yang menunjukkan bahwa translasi tidak mengubah bentuk atau ukuran objek. Matriks [a; b] adalah vektor translasi.

Notasi Translasi

Translasi seringkali dinotasikan dengan beberapa cara, di antaranya:

• T(a, b)(P): Translasi titik P dengan vektor (a, b).
• P’ = P + T: Titik P’ adalah hasil translasi titik P dengan vektor translasi T.
• T: (x, y) → (x + a, y + b): Translasi memetakan titik (x, y) ke titik (x + a, y + b).

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal translasi beserta pembahasannya yang akan membantu Anda memahami konsep ini lebih dalam:

Soal 1:

Tentukan bayangan titik A(2, -3) jika ditranslasikan oleh T(4, 1).

Pembahasan:

Kita memiliki titik A(2, -3) dan vektor translasi T(4, 1). Untuk mencari bayangan titik A, kita gunakan rumus:

• x’ = x + a = 2 + 4 = 6
• y’ = y + b = -3 + 1 = -2

Jadi, bayangan titik A adalah A'(6, -2).

Soal 2:

Sebuah garis dengan persamaan y = 2x + 1 ditranslasikan oleh T(-1, 3). Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.

Pembahasan:

Misalkan titik (x, y) terletak pada garis y = 2x + 1. Setelah ditranslasikan oleh T(-1, 3), titik tersebut menjadi (x’, y’) di mana:

• x’ = x – 1 => x = x’ + 1
• y’ = y + 3 => y = y’ – 3

Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan garis awal:

y = 2x + 1
y’ – 3 = 2(x’ + 1) + 1
y’ – 3 = 2x’ + 2 + 1
y’ = 2x’ + 6

Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah y = 2x + 6.

Soal 3:

Sebuah segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(1, 2), B(4, -1), dan C(0, -3) ditranslasikan oleh T(2, -2). Tentukan koordinat titik-titik sudut bayangan segitiga tersebut.

Pembahasan:

Kita perlu mentranslasikan setiap titik sudut segitiga ABC:

• A(1, 2) ditranslasikan oleh T(2, -2) menjadi A'(1+2, 2-2) = A'(3, 0)
• B(4, -1) ditranslasikan oleh T(2, -2) menjadi B'(4+2, -1-2) = B'(6, -3)
• C(0, -3) ditranslasikan oleh T(2, -2) menjadi C'(0+2, -3-2) = C'(2, -5)

Jadi, koordinat titik-titik sudut bayangan segitiga tersebut adalah A'(3, 0), B'(6, -3), dan C'(2, -5).

Soal 4:

Diketahui titik P'(5, -3) adalah bayangan titik P(x, y) setelah ditranslasikan oleh T(2, -1). Tentukan koordinat titik P.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa:

• x’ = x + a
• y’ = y + b

Dalam soal ini, x’ = 5, y’ = -3, a = 2, dan b = -1. Kita perlu mencari x dan y:

• 5 = x + 2 => x = 5 – 2 = 3
• -3 = y – 1 => y = -3 + 1 = -2

Jadi, koordinat titik P adalah (3, -2).

Soal 5:

Sebuah lingkaran dengan persamaan (x – 2)² + (y + 1)² = 9 ditranslasikan oleh T(-3, 2). Tentukan persamaan bayangan lingkaran tersebut.

Pembahasan:

Misalkan titik (x, y) terletak pada lingkaran (x – 2)² + (y + 1)² = 9. Setelah ditranslasikan oleh T(-3, 2), titik tersebut menjadi (x’, y’) di mana:

• x’ = x – 3 => x = x’ + 3
• y’ = y + 2 => y = y’ – 2

Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan lingkaran awal:

(x – 2)² + (y + 1)² = 9
((x’ + 3) – 2)² + ((y’ – 2) + 1)² = 9
(x’ + 1)² + (y’ – 1)² = 9

Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah (x + 1)² + (y – 1)² = 9.

Soal 6:

Tentukan vektor translasi T yang memetakan titik A(3, -4) ke titik A'(1, 2).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa:

• x’ = x + a
• y’ = y + b

Dalam soal ini, x = 3, y = -4, x’ = 1, dan y’ = 2. Kita perlu mencari a dan b:

• 1 = 3 + a => a = 1 – 3 = -2
• 2 = -4 + b => b = 2 + 4 = 6

Jadi, vektor translasi T adalah (-2, 6).

Soal 7:

Sebuah persegi panjang ABCD dengan koordinat titik A(1, 1), B(5, 1), C(5, 3), dan D(1, 3) ditranslasikan oleh T(a, b) sehingga bayangan titik A adalah A'(-2, 4). Tentukan koordinat titik-titik sudut bayangan persegi panjang tersebut.

Pembahasan:

Pertama, kita cari vektor translasi T(a, b) dengan menggunakan informasi titik A dan A’:

• -2 = 1 + a => a = -3
• 4 = 1 + b => b = 3

Jadi, vektor translasi T adalah (-3, 3). Sekarang kita translasikan titik-titik sudut lainnya:

• B(5, 1) ditranslasikan oleh T(-3, 3) menjadi B'(5-3, 1+3) = B'(2, 4)
• C(5, 3) ditranslasikan oleh T(-3, 3) menjadi C'(5-3, 3+3) = C'(2, 6)
• D(1, 3) ditranslasikan oleh T(-3, 3) menjadi D'(1-3, 3+3) = D'(-2, 6)

Jadi, koordinat titik-titik sudut bayangan persegi panjang tersebut adalah A'(-2, 4), B'(2, 4), C'(2, 6), dan D'(-2, 6).

Soal 8:

Titik P(a, b) ditranslasikan oleh T(3, -2) menghasilkan bayangan P'(7, 1). Tentukan nilai a + b.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa:

• 7 = a + 3 => a = 4
• 1 = b – 2 => b = 3

Jadi, a + b = 4 + 3 = 7.

Kesimpulan

Translasi adalah transformasi geometri yang relatif sederhana namun mendasar. Dengan memahami konsep vektor translasi dan bagaimana menerapkannya pada titik atau objek, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan translasi. Latihan yang konsisten dengan berbagai jenis soal akan semakin memantapkan pemahaman Anda mengenai konsep ini. Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu Anda dalam memahami translasi dalam geometri.