Memahami Peluang Binomial: Contoh Soal Dan Pembahasan Lengkap Untuk Kelas 12

Peluang binomial adalah konsep penting dalam statistika yang seringkali muncul dalam kurikulum matematika kelas 12. Memahami konsep ini dengan baik akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai permasalahan terkait probabilitas. Artikel ini akan membahas secara mendalam tentang peluang binomial, memberikan contoh-contoh soal yang bervariasi, dan menyediakan pembahasan langkah demi langkah untuk membantu Anda memahami dan menguasai konsep ini.

Apa itu Peluang Binomial?

Peluang binomial digunakan untuk menghitung probabilitas keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen yang memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal. Beberapa karakteristik utama dari distribusi binomial adalah:

• Jumlah Percobaan Tetap (n): Jumlah percobaan yang dilakukan harus tetap dan diketahui.
• Percobaan Independen: Hasil dari satu percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya.
• Dua Kemungkinan Hasil: Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal.
• Peluang Sukses Konstan (p): Peluang sukses dalam setiap percobaan harus tetap dan tidak berubah.
• Peluang Gagal Konstan (q): Peluang gagal dalam setiap percobaan juga harus tetap dan tidak berubah, dan q = 1 – p.

Rumus Peluang Binomial:

Rumus untuk menghitung peluang binomial adalah sebagai berikut:

P(X = k) = (nCk) p^k q^(n-k)

Dimana:

• P(X = k) adalah peluang mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan.
• n adalah jumlah percobaan.
• k adalah jumlah keberhasilan yang diinginkan.
• p adalah peluang sukses dalam setiap percobaan.
• q adalah peluang gagal dalam setiap percobaan (q = 1 – p).

• (nCk) adalah koefisien binomial, yang dibaca "n choose k" dan dihitung sebagai:

  (nCk) = n! / (k! * (n-k)!)

  Also Read: Menaklukkan Psikotes SMA: Contoh Soal Dan Strategi Sukses

  Dimana "!" adalah notasi faktorial (misalnya, 5! = 5 4 3 2 1).

Contoh Soal dan Pembahasan:

Mari kita lihat beberapa contoh soal peluang binomial beserta pembahasannya untuk memperdalam pemahaman Anda:

Contoh Soal 1:

Sebuah dadu dilempar sebanyak 5 kali. Berapakah peluang muncul mata dadu 6 sebanyak 2 kali?

Pembahasan:

• n = 5 (jumlah percobaan)
• k = 2 (jumlah keberhasilan yang diinginkan, yaitu muncul mata dadu 6)
• p = 1/6 (peluang muncul mata dadu 6 dalam satu lemparan)
• q = 5/6 (peluang tidak muncul mata dadu 6 dalam satu lemparan)

Maka,

P(X = 2) = (5C2) (1/6)^2 (5/6)^3

(5C2) = 5! / (2! 3!) = (5 4 3 2 1) / (2 1 3 2 * 1) = 10

P(X = 2) = 10 (1/36) (125/216) = 1250/7776 ≈ 0.1608

Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sebanyak 2 kali dalam 5 lemparan adalah sekitar 0.1608 atau 16.08%.

Contoh Soal 2:

Dalam sebuah survei, diketahui bahwa 60% penduduk suatu kota menyukai kopi. Jika diambil sampel acak sebanyak 10 orang dari kota tersebut, berapakah peluang tepat 7 orang menyukai kopi?

Pembahasan:

• n = 10 (jumlah percobaan)
• k = 7 (jumlah keberhasilan yang diinginkan, yaitu orang yang menyukai kopi)
• p = 0.6 (peluang seseorang menyukai kopi)
• q = 0.4 (peluang seseorang tidak menyukai kopi)

Maka,

P(X = 7) = (10C7) (0.6)^7 (0.4)^3

(10C7) = 10! / (7! 3!) = (10 9 8) / (3 2 * 1) = 120

P(X = 7) = 120 (0.0279936) (0.064) = 0.214990848 ≈ 0.2150

Jadi, peluang tepat 7 orang dari 10 orang yang dipilih menyukai kopi adalah sekitar 0.2150 atau 21.50%.

Contoh Soal 3:

Sebuah koin dilempar sebanyak 8 kali. Berapakah peluang mendapatkan paling sedikit 6 angka?

Pembahasan:

Soal ini meminta peluang mendapatkan 6, 7, atau 8 angka. Kita perlu menghitung peluang masing-masing kejadian tersebut dan menjumlahkannya.

• n = 8 (jumlah percobaan)
• p = 0.5 (peluang mendapatkan angka dalam satu lemparan)
• q = 0.5 (peluang mendapatkan gambar dalam satu lemparan)

Kita perlu menghitung P(X = 6), P(X = 7), dan P(X = 8) kemudian menjumlahkannya.

• P(X = 6) = (8C6) (0.5)^6 (0.5)^2 = 28 (1/64) (1/4) = 28/256
• P(X = 7) = (8C7) (0.5)^7 (0.5)^1 = 8 (1/128) (1/2) = 8/256
• P(X = 8) = (8C8) (0.5)^8 (0.5)^0 = 1 (1/256) 1 = 1/256

P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) = 28/256 + 8/256 + 1/256 = 37/256 ≈ 0.1445

Jadi, peluang mendapatkan paling sedikit 6 angka dalam 8 lemparan adalah sekitar 0.1445 atau 14.45%.

Contoh Soal 4:

Seorang penembak memiliki peluang mengenai sasaran sebesar 0.7. Jika ia menembak sebanyak 10 kali, berapakah peluang ia mengenai sasaran kurang dari 3 kali?

Pembahasan:

Soal ini meminta peluang mengenai sasaran 0, 1, atau 2 kali. Kita perlu menghitung peluang masing-masing kejadian tersebut dan menjumlahkannya.

• n = 10 (jumlah percobaan)
• p = 0.7 (peluang mengenai sasaran dalam satu tembakan)
• q = 0.3 (peluang tidak mengenai sasaran dalam satu tembakan)

Kita perlu menghitung P(X = 0), P(X = 1), dan P(X = 2) kemudian menjumlahkannya.

• P(X = 0) = (10C0) (0.7)^0 (0.3)^10 = 1 1 0.0000059049 = 0.0000059049
• P(X = 1) = (10C1) (0.7)^1 (0.3)^9 = 10 0.7 0.000019683 = 0.000137781
• P(X = 2) = (10C2) (0.7)^2 (0.3)^8 = 45 0.49 0.00006561 = 0.0014467845

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0000059049 + 0.000137781 + 0.0014467845 = 0.0015904704 ≈ 0.00159

Jadi, peluang penembak mengenai sasaran kurang dari 3 kali adalah sekitar 0.00159 atau 0.159%.

Contoh Soal 5:

Sebuah perusahaan memproduksi lampu dengan tingkat cacat 5%. Jika diambil sampel acak sebanyak 20 lampu, berapakah peluang terdapat tepat 2 lampu yang cacat?

Pembahasan:

• n = 20 (jumlah percobaan)
• k = 2 (jumlah keberhasilan yang diinginkan, yaitu lampu cacat)
• p = 0.05 (peluang lampu cacat)
• q = 0.95 (peluang lampu tidak cacat)

Maka,

P(X = 2) = (20C2) (0.05)^2 (0.95)^18

(20C2) = 20! / (2! 18!) = (20 19) / (2 * 1) = 190

P(X = 2) = 190 (0.0025) (0.397203749) ≈ 0.18867

Jadi, peluang terdapat tepat 2 lampu cacat dalam sampel 20 lampu adalah sekitar 0.18867 atau 18.867%.

Tips dan Trik dalam Menyelesaikan Soal Peluang Binomial:

• Identifikasi dengan Tepat n, k, p, dan q: Langkah pertama yang krusial adalah mengidentifikasi dengan benar nilai-nilai n, k, p, dan q dari soal. Pastikan Anda memahami apa yang dimaksud dengan "keberhasilan" dalam konteks soal.
• Gunakan Kalkulator: Perhitungan faktorial dan pangkat seringkali rumit. Gunakan kalkulator ilmiah untuk memudahkan dan mempercepat perhitungan.
• Perhatikan Kata Kunci: Perhatikan kata kunci seperti "paling sedikit," "kurang dari," "lebih dari," atau "tepat" untuk menentukan jenis peluang yang diminta (misalnya, P(X ≥ k), P(X < k), P(X > k), atau P(X = k)).
• Pahami Konsep: Jangan hanya menghafal rumus. Pahami konsep dasar peluang binomial agar Anda dapat mengaplikasikannya dalam berbagai situasi.
• Latihan Soal: Semakin banyak Anda berlatih soal, semakin mahir Anda dalam menyelesaikan soal peluang binomial.

Kesimpulan:

Peluang binomial adalah alat yang ampuh untuk menganalisis probabilitas dalam serangkaian percobaan independen. Dengan memahami rumus, karakteristik, dan contoh-contoh soal yang telah dibahas, Anda akan lebih siap untuk menghadapi berbagai permasalahan terkait peluang binomial dalam matematika kelas 12 dan seterusnya. Ingatlah untuk selalu mengidentifikasi variabel dengan tepat, menggunakan kalkulator untuk perhitungan yang kompleks, dan terus berlatih untuk mengasah kemampuan Anda. Semoga artikel ini bermanfaat!