Memahami Peluang Acak Kontinu: Contoh Soal Dan Pembahasan Mendalam

Dalam dunia statistika dan probabilitas, kita sering berhadapan dengan variabel acak yang nilainya bisa berupa bilangan bulat diskrit (misalnya, jumlah kepala saat melempar koin) atau bilangan riil kontinu (misalnya, tinggi badan seseorang). Artikel ini akan fokus pada variabel acak kontinu dan bagaimana kita menghitung peluangnya menggunakan fungsi kepadatan peluang (PDF). Kita akan membahas konsep dasar, properti penting, dan yang terpenting, menyajikan contoh soal peluang acak kontinu dengan pembahasan mendalam untuk memperkuat pemahaman Anda.

Apa Itu Variabel Acak Kontinu?

Variabel acak kontinu adalah variabel yang dapat mengambil nilai apa pun dalam rentang tertentu. Perbedaan utama dengan variabel acak diskrit adalah bahwa variabel kontinu dapat memiliki nilai desimal atau pecahan, sedangkan variabel diskrit hanya dapat memiliki nilai bulat. Contoh variabel acak kontinu meliputi:

• Tinggi badan seseorang
• Berat badan seseorang
• Suhu ruangan
• Waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu tugas
• Jarak tempuh kendaraan

Fungsi Kepadatan Peluang (PDF)

Untuk menggambarkan distribusi probabilitas variabel acak kontinu, kita menggunakan fungsi kepadatan peluang (Probability Density Function – PDF), yang sering dilambangkan dengan f(x). PDF ini berbeda dengan fungsi massa peluang (PMF) yang digunakan untuk variabel acak diskrit. Beberapa poin penting tentang PDF:

• f(x) tidak memberikan peluang langsung untuk nilai x tertentu. Sebaliknya, f(x) memberikan kepadatan peluang di sekitar nilai x.

  Also Read: Memahami Quick Ratio: Contoh Soal Dan Pembahasan Lengkap

• Peluang suatu variabel acak kontinu berada dalam rentang tertentu (misalnya, antara a dan b) dihitung dengan mengintegrasikan PDF dari a hingga b:

  P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx

• Total luas di bawah kurva PDF harus sama dengan 1, karena ini mewakili semua kemungkinan nilai variabel acak.

  Also Read: Contoh Soal Psikotes Yang Tidak Memiliki Kesamaan

  ∫₋∞⁺∞ f(x) dx = 1

Properti Penting PDF

Sebuah fungsi dapat menjadi PDF yang valid jika memenuhi dua properti utama:

1. Non-negatif: f(x) ≥ 0 untuk semua nilai x. Ini berarti bahwa kepadatan peluang tidak boleh negatif.
2. Integral Total Sama dengan 1: ∫₋∞⁺∞ f(x) dx = 1. Ini memastikan bahwa total peluang semua kemungkinan nilai adalah 1.

Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Mari kita bahas beberapa contoh soal peluang acak kontinu untuk mengilustrasikan konsep yang telah kita pelajari.

Contoh Soal 1: Distribusi Seragam

Sebuah mesin menghasilkan batang logam dengan panjang yang bervariasi. Panjang batang tersebut mengikuti distribusi seragam antara 10 cm dan 12 cm.

a) Tentukan fungsi kepadatan peluang (PDF) dari panjang batang logam.

b) Hitung peluang bahwa panjang batang logam yang dipilih secara acak berada antara 10.5 cm dan 11.5 cm.

Pembahasan:

a) Menentukan Fungsi Kepadatan Peluang (PDF)

Distribusi seragam memiliki PDF yang konstan dalam rentang yang ditentukan dan nol di luar rentang tersebut.  Secara matematis, PDF untuk distribusi seragam antara *a* dan *b* adalah:

f(x) = { 1/(b-a)  jika a ≤ x ≤ b
       { 0         jika x < a atau x > b

Dalam kasus ini, *a* = 10 cm dan *b* = 12 cm.  Oleh karena itu, PDF dari panjang batang logam adalah:

f(x) = { 1/(12-10) = 1/2  jika 10 ≤ x ≤ 12
       { 0                 jika x < 10 atau x > 12

b) Menghitung Peluang

Untuk menghitung peluang bahwa panjang batang logam berada antara 10.5 cm dan 11.5 cm, kita perlu mengintegrasikan PDF dari 10.5 hingga 11.5:

P(10.5 ≤ X ≤ 11.5) = ∫₁₀.₅¹¹.⁵ f(x) dx

Karena *f(x) = 1/2* dalam rentang ini, kita memiliki:

P(10.5 ≤ X ≤ 11.5) = ∫₁₀.₅¹¹.⁵ (1/2) dx
                     = (1/2) * [x]₁₀.₅¹¹.⁵
                     = (1/2) * (11.5 - 10.5)
                     = (1/2) * 1
                     = 0.5

Jadi, peluang bahwa panjang batang logam yang dipilih secara acak berada antara 10.5 cm dan 11.5 cm adalah 0.5 atau 50%.

Contoh Soal 2: Distribusi Eksponensial

Waktu (dalam menit) yang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan di sebuah bank mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 4 menit.

a) Tentukan fungsi kepadatan peluang (PDF) dari waktu pelayanan.

b) Hitung peluang bahwa seorang pelanggan akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit.

c) Hitung peluang bahwa seorang pelanggan akan dilayani dalam waktu antara 5 dan 8 menit.

Pembahasan:

a) Menentukan Fungsi Kepadatan Peluang (PDF)

Distribusi eksponensial memiliki PDF yang didefinisikan sebagai:

f(x) = { λe⁻λx   jika x ≥ 0
       { 0        jika x < 0

di mana λ adalah parameter laju (rate parameter).  Hubungan antara λ dan rata-rata (μ) adalah:

λ = 1/μ

Dalam kasus ini, rata-rata waktu pelayanan adalah 4 menit, sehingga μ = 4 dan λ = 1/4.  Oleh karena itu, PDF dari waktu pelayanan adalah:

f(x) = { (1/4)e⁻⁽¹/⁴⁾ˣ   jika x ≥ 0
       { 0              jika x < 0

b) Menghitung Peluang Kurang dari 3 Menit

Untuk menghitung peluang bahwa seorang pelanggan akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit, kita perlu mengintegrasikan PDF dari 0 hingga 3:

P(X < 3) = ∫₀³ f(x) dx
          = ∫₀³ (1/4)e⁻⁽¹/⁴⁾ˣ dx

Untuk menyelesaikan integral ini, kita gunakan substitusi: u = -(1/4)x,  du = -(1/4) dx.  Maka, dx = -4 du.  Batas integrasi juga berubah: ketika x = 0, u = 0; ketika x = 3, u = -3/4.

P(X < 3) = ∫₀⁻³/⁴ eᵘ (-4) du
          = -4 ∫₀⁻³/⁴ eᵘ du
          = -4 [eᵘ]₀⁻³/⁴
          = -4 (e⁻³/⁴ - e⁰)
          = -4 (e⁻³/⁴ - 1)
          = 4 (1 - e⁻³/⁴)
          ≈ 4 (1 - 0.4724)
          ≈ 4 (0.5276)
          ≈ 0.8103

Jadi, peluang bahwa seorang pelanggan akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit adalah sekitar 0.8103 atau 81.03%.

c) Menghitung Peluang Antara 5 dan 8 Menit

Untuk menghitung peluang bahwa seorang pelanggan akan dilayani dalam waktu antara 5 dan 8 menit, kita perlu mengintegrasikan PDF dari 5 hingga 8:

P(5 ≤ X ≤ 8) = ∫₅⁸ f(x) dx
            = ∫₅⁸ (1/4)e⁻⁽¹/⁴⁾ˣ dx

Menggunakan substitusi yang sama seperti sebelumnya (u = -(1/4)x,  dx = -4 du), batas integrasi menjadi: ketika x = 5, u = -5/4; ketika x = 8, u = -2.

P(5 ≤ X ≤ 8) = ∫₋⁵/⁴⁻² eᵘ (-4) du
            = -4 ∫₋⁵/⁴⁻² eᵘ du
            = -4 [eᵘ]₋⁵/⁴⁻²
            = -4 (e⁻² - e⁻⁵/⁴)
            = 4 (e⁻⁵/⁴ - e⁻²)
            ≈ 4 (0.2865 - 0.1353)
            ≈ 4 (0.1512)
            ≈ 0.6048

Jadi, peluang bahwa seorang pelanggan akan dilayani dalam waktu antara 5 dan 8 menit adalah sekitar 0.6048 atau 60.48%.

Contoh Soal 3: Distribusi Normal

Sebuah perusahaan memproduksi resistor. Nilai resistansi resistor mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 100 ohm dan standar deviasi 5 ohm.

a) Tentukan fungsi kepadatan peluang (PDF) dari resistansi resistor.

b) Hitung peluang bahwa resistansi resistor yang dipilih secara acak berada antara 95 ohm dan 105 ohm.

c) Hitung peluang bahwa resistansi resistor yang dipilih secara acak lebih besar dari 110 ohm.

Pembahasan:

a) Menentukan Fungsi Kepadatan Peluang (PDF)

Distribusi normal memiliki PDF yang didefinisikan sebagai:

f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x-μ)² / (2σ²)))

di mana μ adalah rata-rata dan σ adalah standar deviasi.  Dalam kasus ini, μ = 100 ohm dan σ = 5 ohm.  Oleh karena itu, PDF dari resistansi resistor adalah:

f(x) = (1 / (5√(2π))) * e^(-((x-100)² / (2 * 5²)))
     = (1 / (5√(2π))) * e^(-((x-100)² / 50))

b) Menghitung Peluang Antara 95 dan 105 Ohm

Untuk menghitung peluang bahwa resistansi resistor berada antara 95 ohm dan 105 ohm, kita perlu mengintegrasikan PDF dari 95 hingga 105:

P(95 ≤ X ≤ 105) = ∫₉₅¹⁰⁵ f(x) dx
                = ∫₉₅¹⁰⁵ (1 / (5√(2π))) * e^(-((x-100)² / 50)) dx

Integral ini sulit diselesaikan secara analitis.  Oleh karena itu, kita biasanya menggunakan tabel distribusi normal standar (Z-table) atau kalkulator statistik untuk menghitung peluang ini.  Untuk menggunakan Z-table, kita perlu mengubah nilai *x* menjadi nilai *z* menggunakan rumus:

z = (x - μ) / σ

Untuk x = 95:  z₁ = (95 - 100) / 5 = -1
Untuk x = 105: z₂ = (105 - 100) / 5 = 1

Jadi, kita perlu mencari P(-1 ≤ Z ≤ 1) di Z-table.  P(Z ≤ 1) ≈ 0.8413 dan P(Z ≤ -1) ≈ 0.1587.

P(-1 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) - P(Z ≤ -1)
               ≈ 0.8413 - 0.1587
               ≈ 0.6826

Jadi, peluang bahwa resistansi resistor yang dipilih secara acak berada antara 95 ohm dan 105 ohm adalah sekitar 0.6826 atau 68.26%.

c) Menghitung Peluang Lebih Besar dari 110 Ohm

Untuk menghitung peluang bahwa resistansi resistor lebih besar dari 110 ohm, kita perlu mengintegrasikan PDF dari 110 hingga ∞:

P(X > 110) = ∫₁₁₀⁺∞ f(x) dx
           = ∫₁₁₀⁺∞ (1 / (5√(2π))) * e^(-((x-100)² / 50)) dx

Sekali lagi, kita menggunakan Z-table.  Untuk x = 110:

z = (110 - 100) / 5 = 2

Kita perlu mencari P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) di Z-table. P(Z ≤ 2) ≈ 0.9772.

P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2)
          ≈ 1 - 0.9772
          ≈ 0.0228

Jadi, peluang bahwa resistansi resistor yang dipilih secara acak lebih besar dari 110 ohm adalah sekitar 0.0228 atau 2.28%.

Kesimpulan

Memahami peluang acak kontinu sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk statistika, rekayasa, dan keuangan. Dengan memahami konsep PDF, properti pentingnya, dan bagaimana mengintegrasikannya untuk menghitung peluang, Anda dapat menganalisis dan membuat prediksi tentang variabel acak kontinu dengan lebih efektif. Contoh-contoh soal yang telah kita bahas di atas memberikan gambaran praktis tentang bagaimana menerapkan konsep-konsep ini dalam situasi dunia nyata. Ingatlah bahwa untuk distribusi yang kompleks seperti distribusi normal, penggunaan tabel Z atau alat bantu komputasi sangatlah membantu. Teruslah berlatih dengan berbagai contoh soal untuk memperdalam pemahaman Anda dan meningkatkan kemampuan Anda dalam memecahkan masalah yang melibatkan peluang acak kontinu.